Risolvi {l}{x+y=27}{x-y=-145}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { x - y = - 145 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=-59$$

$$y=86$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=27$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+27$$

Sostituisci -y+27 a x nell'altra equazione x-y=-145.

$$-y+27-y=-145$$

Aggiungi -y a -y.

$$-2y+27=-145$$

Sottrai 27 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2y=-172$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$y=86$$

Sostituisci 86 a y in x=-y+27. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-86+27$$

Aggiungi 27 a -86.

$$x=-59$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-59,y=86$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-145\right)\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-145\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-59\\86\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-59,y=86$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Sottrai x-y=-145 a x+y=27 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-x+y+y=27+145$$

Aggiungi x a -x. I termini x e -x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$y+y=27+145$$

Aggiungi y a y.

$$2y=27+145$$

Aggiungi 27 a 145.

$$2y=172$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$y=86$$

Sostituisci 86 a y in x-y=-145. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-86=-145$$

Aggiungi 86 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-59$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-59,y=86$$