Risolvi {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=1$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+1$$

Sostituisci -y+1 a x nell'altra equazione 3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Moltiplica 3 per -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Aggiungi -3y a y.

$$-2y+3=5$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2y=2$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in x=-y+1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Moltiplica -1 per -1.

$$x=1+1$$

Aggiungi 1 a 1.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=-1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=2,y=-1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Sottrai 3x+y=5 a x+y=1 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$x-3x=1-5$$

Aggiungi x a -3x.

$$-2x=1-5$$

Aggiungi 1 a -5.

$$-2x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$x=2$$

Sostituisci 2 a x in 3x+y=5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$3\times 2+y=5$$

Moltiplica 3 per 2.

$$6+y=5$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=-1$$