Risolvi {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+3y=7$$

Sottrai 3y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3y+7$$

Sostituisci -3y+7 a x nell'altra equazione 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Moltiplica 3 per -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Aggiungi -9y a y.

$$-8y+21=17$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-8y=-4$$

Dividi entrambi i lati per -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sostituisci \frac{1}{2} a y in x=-3y+7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Moltiplica -3 per \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Aggiungi 7 a -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Per rendere x e 3x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 3 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Semplifica.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Sottrai 3x+y=17 a 3x+9y=21 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Aggiungi 3x a -3x. I termini 3x e -3x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$9y-y=21-17$$

Aggiungi 9y a -y.

$$8y=21-17$$

Aggiungi 21 a -17.

$$8y=4$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sostituisci \frac{1}{2} a y in 3x+y=17. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$