Risolvi {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=400$$

$$y=20$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x+20y=800$$

Considera la seconda equazione. Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x+15y=700$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+20y=800$$

Sottrai 20y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-20y+800$$

Sostituisci -20y+800 a x nell'altra equazione x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Aggiungi -20y a 15y.

$$-5y+800=700$$

Sottrai 800 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-5y=-100$$

Dividi entrambi i lati per -5.

$$y=20$$

Sostituisci 20 a y in x=-20y+800. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-20\times 20+800$$

Moltiplica -20 per 20.

$$x=-400+800$$

Aggiungi 800 a -400.

$$x=400$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=400,y=20$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x+20y=800$$

Considera la seconda equazione. Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x+15y=700$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=400,y=20$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x+20y=800$$

Considera la seconda equazione. Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x+15y=700$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Sottrai x+15y=700 a x+20y=800 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Aggiungi x a -x. I termini x e -x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$20y-15y=800-700$$

Aggiungi 20y a -15y.

$$5y=800-700$$

Aggiungi 800 a -700.

$$5y=100$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$y=20$$

Sostituisci 20 a y in x+15y=700. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x+15\times 20=700$$

Moltiplica 15 per 20.

$$x+300=700$$

Sottrai 300 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=400$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=400,y=20$$