Risolvi {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=1$$

$$y=6$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$8+4x-2y=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4x-2y=-8$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 3y a entrambi i lati.

$$-4x+3y=14$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$4x-2y=-8$$

Aggiungi 2y a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=2y-8$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Moltiplica \frac{1}{4} per -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Sostituisci \frac{y}{2}-2 a x nell'altra equazione -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Moltiplica -4 per \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Aggiungi -2y a 3y.

$$y+8=14$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=6$$

Sostituisci 6 a y in x=\frac{1}{2}y-2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Moltiplica \frac{1}{2} per 6.

$$x=3-2$$

Aggiungi -2 a 3.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=6$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$8+4x-2y=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4x-2y=-8$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 3y a entrambi i lati.

$$-4x+3y=14$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=1,y=6$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$8+4x-2y=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4x-2y=-8$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 3y a entrambi i lati.

$$-4x+3y=14$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Per rendere 4x e -4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Semplifica.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Sottrai -16x+12y=56 a -16x+8y=32 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Aggiungi -16x a 16x. I termini -16x e 16x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$8y-12y=32-56$$

Aggiungi 8y a -12y.

$$-4y=32-56$$

Aggiungi 32 a -56.

$$-4y=-24$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$y=6$$

Sostituisci 6 a y in -4x+3y=14. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-4x+3\times 6=14$$

Moltiplica 3 per 6.

$$-4x+18=14$$

Sottrai 18 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-4x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=6$$