Risolvi {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=1$$

$$y=4$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$5x+y=9$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x=-y+9$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Moltiplica \frac{1}{5} per -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Sostituisci \frac{-y+9}{5} a x nell'altra equazione 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Moltiplica 10 per \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Aggiungi -2y a -7y.

$$-9y+18=-18$$

Sottrai 18 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-9y=-36$$

Dividi entrambi i lati per -9.

$$y=4$$

Sostituisci 4 a y in x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Moltiplica -\frac{1}{5} per 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Aggiungi \frac{9}{5} a -\frac{4}{5} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=4$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=1,y=4$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Per rendere 5x e 10x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 10 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Semplifica.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Sottrai 50x-35y=-90 a 50x+10y=90 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Aggiungi 50x a -50x. I termini 50x e -50x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$10y+35y=90+90$$

Aggiungi 10y a 35y.

$$45y=90+90$$

Aggiungi 90 a 90.

$$45y=180$$

Dividi entrambi i lati per 45.

$$y=4$$

Sostituisci 4 a y in 10x-7y=-18. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$10x-7\times 4=-18$$

Moltiplica -7 per 4.

$$10x-28=-18$$

Aggiungi 28 a entrambi i lati dell'equazione.

$$10x=10$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=4$$