Risolvi {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=2$$

$$y=0$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$4x+y=8$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=-y+8$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Moltiplica \frac{1}{4} per -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Sostituisci -\frac{y}{4}+2 a x nell'altra equazione x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Aggiungi -\frac{y}{4} a -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{5}{4}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=0$$

Sostituisci 0 a y in x=-\frac{1}{4}y+2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=0$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=2,y=0$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Per rendere 4x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Semplifica.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

Sottrai 4x-4y=8 a 4x+y=8 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Aggiungi 4x a -4x. I termini 4x e -4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$y+4y=8-8$$

Aggiungi y a 4y.

$$5y=8-8$$

Aggiungi 8 a -8.

$$5y=0$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$y=0$$

Sostituisci 0 a y in x-y=2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=0$$