Risolvi {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$4x+2y=2$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=-2y+2$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Moltiplica \frac{1}{4} per -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Sostituisci \frac{-y+1}{2} a x nell'altra equazione x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Aggiungi -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Moltiplica entrambi i lati per 2.

$$y=7$$

Sostituisci 7 a y in x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Moltiplica -\frac{1}{2} per 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a -\frac{7}{2} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-3,y=7$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-3,y=7$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Per rendere 4x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Semplifica.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Sottrai 4x+4y=16 a 4x+2y=2 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Aggiungi 4x a -4x. I termini 4x e -4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$2y-4y=2-16$$

Aggiungi 2y a -4y.

$$-2y=2-16$$

Aggiungi 2 a -16.

$$-2y=-14$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$y=7$$

Sostituisci 7 a y in x+y=4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x+7=4$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-3,y=7$$