Risolvi {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Trova x_1,.x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x_{1} isolando x_{1} sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Sottrai 3x_{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Sostituisci \frac{-3x_{2}+7}{2} a x_{1} nell'altra equazione 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Moltiplica 4 per \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Aggiungi -6x_{2} a -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Sottrai 14 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-10x_{2}=-20$$

Dividi entrambi i lati per -10.

$$x_{2}=2$$

Sostituisci 2 a x_{2} in x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x_{1}.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Moltiplica -\frac{3}{2} per 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Aggiungi \frac{7}{2} a -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x_{1} e x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Per rendere 2x_{1} e 4x_{1} uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Semplifica.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Sottrai 8x_{1}-8x_{2}=-12 a 8x_{1}+12x_{2}=28 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Aggiungi 8x_{1} a -8x_{1}. I termini 8x_{1} e -8x_{1} si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Aggiungi 12x_{2} a 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Aggiungi 28 a 12.

$$20x_{2}=40$$

Dividi entrambi i lati per 20.

$$x_{2}=2$$

Sostituisci 2 a x_{2} in 4x_{1}-4x_{2}=-6. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x_{1}.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Moltiplica -4 per 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Aggiungi 8 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x_{1}=2$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$