Risolvi {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la seconda equazione. Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$y-7x=3$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+y=-6$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-y-6$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Sostituisci -\frac{y}{2}-3 a x nell'altra equazione -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Moltiplica -7 per -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Aggiungi \frac{7y}{2} a y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{9}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=-4$$

Sostituisci -4 a y in x=-\frac{1}{2}y-3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Moltiplica -\frac{1}{2} per -4.

$$x=2-3$$

Aggiungi -3 a 2.

$$x=-1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=-4$$

Procedura usando le matrici

Considera la seconda equazione. Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$y-7x=3$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-1,y=-4$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la seconda equazione. Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$y-7x=3$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Sottrai -7x+y=3 a 2x+y=-6 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$2x+7x=-6-3$$

Aggiungi 2x a 7x.

$$9x=-6-3$$

Aggiungi -6 a -3.

$$9x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$x=-1$$

Sostituisci -1 a x in -7x+y=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Moltiplica -7 per -1.

$$7+y=3$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-4$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=-4$$