Risolvi {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+5y=259$$

Sottrai 5y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-5y+259$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Sostituisci \frac{-5y+259}{2} a x nell'altra equazione 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Moltiplica 199 per \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Aggiungi -\frac{995y}{2} a -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Sottrai \frac{51541}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{999}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Sostituisci \frac{16429}{333} a y in x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Moltiplica -\frac{5}{2} per \frac{16429}{333} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Aggiungi \frac{259}{2} a -\frac{82145}{666} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Per rendere 2x e 199x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 199 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Semplifica.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Sottrai 398x-4y=2254 a 398x+995y=51541 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Aggiungi 398x a -398x. I termini 398x e -398x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$995y+4y=51541-2254$$

Aggiungi 995y a 4y.

$$999y=51541-2254$$

Aggiungi 51541 a -2254.

$$999y=49287$$

Dividi entrambi i lati per 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Sostituisci \frac{16429}{333} a y in 199x-2y=1127. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Moltiplica -2 per \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Aggiungi \frac{32858}{333} a entrambi i lati dell'equazione.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Dividi entrambi i lati per 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$