Risolvi {l}{2x+4y=-4}{2x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+4y=-4$$

Sottrai 4y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-4y-4$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -4y-4.

$$x=-2y-2$$

Sostituisci -2y-2 a x nell'altra equazione 2x+y=8.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

Moltiplica 2 per -2y-2.

$$-4y-4+y=8$$

Aggiungi -4y a y.

$$-3y-4=8$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-3y=12$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$y=-4$$

Sostituisci -4 a y in x=-2y-2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

Moltiplica -2 per -4.

$$x=8-2$$

Aggiungi -2 a 8.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=-4$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=6,y=-4$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Sottrai 2x+y=8 a 2x+4y=-4 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

Aggiungi 2x a -2x. I termini 2x e -2x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y-y=-4-8$$

Aggiungi 4y a -y.

$$3y=-4-8$$

Aggiungi -4 a -8.

$$3y=-12$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$y=-4$$

Sostituisci -4 a y in 2x+y=8. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$2x-4=8$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=12$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=-4$$