Risolvi {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+3y=10$$

Sottrai 3y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-3y+10$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Sostituisci -\frac{3y}{2}+5 a x nell'altra equazione 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Moltiplica 4 per -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Aggiungi -6y a 5y.

$$-y+20=42$$

Sottrai 20 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-y=22$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$y=-22$$

Sostituisci -22 a y in x=-\frac{3}{2}y+5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Moltiplica -\frac{3}{2} per -22.

$$x=33+5$$

Aggiungi 5 a 33.

$$x=38$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=38,y=-22$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=38,y=-22$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Per rendere 2x e 4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Semplifica.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Sottrai 8x+10y=84 a 8x+12y=40 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Aggiungi 8x a -8x. I termini 8x e -8x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$12y-10y=40-84$$

Aggiungi 12y a -10y.

$$2y=40-84$$

Aggiungi 40 a -84.

$$2y=-44$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$y=-22$$

Sostituisci -22 a y in 4x+5y=42. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Moltiplica 5 per -22.

$$4x-110=42$$

Aggiungi 110 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=152$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=38$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=38,y=-22$$