Risolvi {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=3$$

$$y=1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+16y=22$$

Sottrai 16y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-16y+22$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Sostituisci -8y+11 a x nell'altra equazione 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Moltiplica 4 per -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Aggiungi -32y a 8y.

$$-24y+44=20$$

Sottrai 44 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-24y=-24$$

Dividi entrambi i lati per -24.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in x=-8y+11. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-8+11$$

Aggiungi 11 a -8.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=3,y=1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Per rendere 2x e 4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Semplifica.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Sottrai 8x+16y=40 a 8x+64y=88 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Aggiungi 8x a -8x. I termini 8x e -8x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$64y-16y=88-40$$

Aggiungi 64y a -16y.

$$48y=88-40$$

Aggiungi 88 a -40.

$$48y=48$$

Dividi entrambi i lati per 48.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in 4x+8y=20. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$4x+8=20$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=12$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=1$$