Risolvi {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$13x+20y=48$$

Sottrai 20y da entrambi i lati dell'equazione.

$$13x=-20y+48$$

Dividi entrambi i lati per 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Moltiplica \frac{1}{13} per -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Sostituisci \frac{-20y+48}{13} a x nell'altra equazione 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Moltiplica 20 per \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Aggiungi -\frac{400y}{13} a 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Sottrai \frac{960}{13} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{809}{13}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Sostituisci -\frac{947}{809} a y in x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Moltiplica -\frac{20}{13} per -\frac{947}{809} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Aggiungi \frac{48}{13} a \frac{18940}{10517} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Per rendere 13x e 20x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 20 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Semplifica.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Sottrai 260x+1209y=13 a 260x+400y=960 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Aggiungi 260x a -260x. I termini 260x e -260x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$400y-1209y=960-13$$

Aggiungi 400y a -1209y.

$$-809y=960-13$$

Aggiungi 960 a -13.

$$-809y=947$$

Dividi entrambi i lati per -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Sostituisci -\frac{947}{809} a y in 20x+93y=1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Moltiplica 93 per -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Aggiungi \frac{88071}{809} a entrambi i lati dell'equazione.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Dividi entrambi i lati per 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$