Risolvi {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$12x+4y=6$$

Sottrai 4y da entrambi i lati dell'equazione.

$$12x=-4y+6$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Moltiplica \frac{1}{12} per -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Sostituisci -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} a x nell'altra equazione 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Moltiplica 9 per -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Aggiungi -3y a 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Sottrai \frac{9}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Dividi entrambi i lati per 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Sostituisci \frac{7}{26} a y in x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Moltiplica -\frac{1}{3} per \frac{7}{26} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a -\frac{7}{78} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{16}{39}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Per rendere 12x e 9x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 9 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Semplifica.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Sottrai 108x+192y=96 a 108x+36y=54 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Aggiungi 108x a -108x. I termini 108x e -108x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$36y-192y=54-96$$

Aggiungi 36y a -192y.

$$-156y=54-96$$

Aggiungi 54 a -96.

$$-156y=-42$$

Dividi entrambi i lati per -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Sostituisci \frac{7}{26} a y in 9x+16y=8. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Moltiplica 16 per \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Sottrai \frac{56}{13} da entrambi i lati dell'equazione.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$