Risolvi {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=28$$

$$y=25$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-3-y=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$x-y=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$4x-3y=37$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x-y=3$$

Aggiungi y a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=y+3$$

Sostituisci y+3 a x nell'altra equazione 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Moltiplica 4 per y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Aggiungi 4y a -3y.

$$y+12=37$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=25$$

Sostituisci 25 a y in x=y+3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=25+3$$

Aggiungi 3 a 25.

$$x=28$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=28,y=25$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-3-y=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$x-y=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$4x-3y=37$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=28,y=25$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-3-y=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$x-y=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$4x-3y=37$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Per rendere x e 4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Semplifica.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Sottrai 4x-3y=37 a 4x-4y=12 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Aggiungi 4x a -4x. I termini 4x e -4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-4y+3y=12-37$$

Aggiungi -4y a 3y.

$$-y=12-37$$

Aggiungi 12 a -37.

$$-y=-25$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$y=25$$

Sostituisci 25 a y in 4x-3y=37. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$4x-3\times 25=37$$

Moltiplica -3 per 25.

$$4x-75=37$$

Aggiungi 75 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=112$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=28$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=28,y=25$$