Risolvi {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=6$$

$$y=3$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=9$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+9$$

Sostituisci -y+9 a x nell'altra equazione 4x+5y=39.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Moltiplica 4 per -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Aggiungi -4y a 5y.

$$y+36=39$$

Sottrai 36 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in x=-y+9. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-3+9$$

Aggiungi 9 a -3.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=3$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=6,y=3$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Per rendere x e 4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Semplifica.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Sottrai 4x+5y=39 a 4x+4y=36 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Aggiungi 4x a -4x. I termini 4x e -4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y-5y=36-39$$

Aggiungi 4y a -5y.

$$-y=36-39$$

Aggiungi 36 a -39.

$$-y=-3$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in 4x+5y=39. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$4x+5\times 3=39$$

Moltiplica 5 per 3.

$$4x+15=39$$

Sottrai 15 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=24$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=3$$