Risolvi {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=21$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+21$$

Sostituisci -y+21 a x nell'altra equazione 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Moltiplica 0.25 per -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Aggiungi -\frac{y}{4} a \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Sottrai 5.25 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-0.2y=-1.9$$

Moltiplica entrambi i lati per -5.

$$y=9.5$$

Sostituisci 9.5 a y in x=-y+21. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-9.5+21$$

Aggiungi 21 a -9.5.

$$x=11.5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=11.5,y=9.5$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Per rendere x e \frac{x}{4} uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 0.25 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Semplifica.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Sottrai 0.25x+0.05y=3.35 a 0.25x+0.25y=5.25 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Aggiungi \frac{x}{4} a -\frac{x}{4}. I termini \frac{x}{4} e -\frac{x}{4} si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Aggiungi \frac{y}{4} a -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Aggiungi 5.25 a -3.35 trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$0.2y=1.9$$

Moltiplica entrambi i lati per 5.

$$y=9.5$$

Sostituisci 9.5 a y in 0.25x+0.05y=3.35. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Moltiplica 0.05 per 9.5 moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Sottrai 0.475 da entrambi i lati dell'equazione.

$$0.25x=2.875$$

Moltiplica entrambi i lati per 4.

$$x=11.5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=11.5,y=9.5$$