Risolvi {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=2$$

$$y=4$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+3y=14$$

Sottrai 3y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3y+14$$

Sostituisci -3y+14 a x nell'altra equazione 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Moltiplica 4 per -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Aggiungi -12y a -y.

$$-13y+56=4$$

Sottrai 56 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-13y=-52$$

Dividi entrambi i lati per -13.

$$y=4$$

Sostituisci 4 a y in x=-3y+14. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-3\times 4+14$$

Moltiplica -3 per 4.

$$x=-12+14$$

Aggiungi 14 a -12.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=4$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=2,y=4$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Per rendere x e 4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Semplifica.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

Sottrai 4x-y=4 a 4x+12y=56 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Aggiungi 4x a -4x. I termini 4x e -4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$12y+y=56-4$$

Aggiungi 12y a y.

$$13y=56-4$$

Aggiungi 56 a -4.

$$13y=52$$

Dividi entrambi i lati per 13.

$$y=4$$

Sostituisci 4 a y in 4x-y=4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$4x-4=4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=8$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=4$$