Risolvi {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Trova a,.b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per a isolando a sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Sottrai b da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{3}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Moltiplica \frac{2}{3} per -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Sostituisci \frac{-2b+2}{3} a a nell'altra equazione a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Aggiungi -\frac{2b}{3} a \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Sottrai \frac{2}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Moltiplica entrambi i lati per -6.

$$b=-38$$

Sostituisci -38 a b in a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per a.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Moltiplica -\frac{2}{3} per -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a \frac{76}{3} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$a=26$$

Il sistema è ora risolto.

$$a=26,b=-38$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice a e b.

$$a=26,b=-38$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Per rendere \frac{3a}{2} e a uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Semplifica.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} a \frac{3}{2}a+b=1 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Aggiungi \frac{3a}{2} a -\frac{3a}{2}. I termini \frac{3a}{2} e -\frac{3a}{2} si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Aggiungi b a -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Aggiungi 1 a -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Moltiplica entrambi i lati per 4.

$$b=-38$$

Sostituisci -38 a b in a+\frac{1}{2}b=7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per a.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -38.

$$a-19=7$$

Aggiungi 19 a entrambi i lati dell'equazione.

$$a=26$$

Il sistema è ora risolto.

$$a=26,b=-38$$