Risolvi {l}{y=x}{y=-x+2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { y = - x + 2 } \end{array} \right\}$$

Trova y,.x

$$x=1$$

$$y=1$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=0$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=2$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-x=0,y+x=2$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-x=0$$

Aggiungi x a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=x$$

Sostituisci x a y nell'altra equazione y+x=2.

$$x+x=2$$

Aggiungi x a x.

$$2x=2$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=1$$

Sostituisci 1 a x in y=x. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=1,x=1$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=0$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=2$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-x=0,y+x=2$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=1,x=1$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=0$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=2$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-x=0,y+x=2$$

Sottrai y+x=2 a y-x=0 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y-x-x=-2$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-x-x=-2$$

Aggiungi -x a -x.

$$-2x=-2$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$x=1$$

Sostituisci 1 a x in y+x=2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y+1=2$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=1,x=1$$