Risolvi {l}{y=-2x+2}{y=4x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = 4 x - 4 } \end{array} \right\}$$

Trova y,.x

$$x=1$$

$$y=0$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Aggiungi 2x a entrambi i lati.

$$y+2x=2$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$y-4x=-4$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y+2x=2$$

Sottrai 2x da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-2x+2$$

Sostituisci -2x+2 a y nell'altra equazione y-4x=-4.

$$-2x+2-4x=-4$$

Aggiungi -2x a -4x.

$$-6x+2=-4$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-6x=-6$$

Dividi entrambi i lati per -6.

$$x=1$$

Sostituisci 1 a x in y=-2x+2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=-2+2$$

Aggiungi 2 a -2.

$$y=0$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=0,x=1$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Aggiungi 2x a entrambi i lati.

$$y+2x=2$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$y-4x=-4$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 2-\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=0,x=1$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Aggiungi 2x a entrambi i lati.

$$y+2x=2$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$y-4x=-4$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Sottrai y-4x=-4 a y+2x=2 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y+2x+4x=2+4$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$2x+4x=2+4$$

Aggiungi 2x a 4x.

$$6x=2+4$$

Aggiungi 2 a 4.

$$6x=6$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$x=1$$

Sostituisci 1 a x in y-4x=-4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y-4=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=0$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=0,x=1$$