Risolvi {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Trova x,.y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Aggiungi y a entrambi i lati.

$$x+y=0$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=0$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y$$

Sostituisci -y a x nell'altra equazione 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Moltiplica 2 per -y.

$$-2y+y=5$$

Aggiungi -2y a y.

$$-y=5$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$y=-5$$

Sostituisci -5 a y in x=-y. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Moltiplica -1 per -5.

$$x=5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=5,y=-5$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Aggiungi y a entrambi i lati.

$$x+y=0$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=5,y=-5$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Aggiungi y a entrambi i lati.

$$x+y=0$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Sottrai 2x+y=5 a x+y=0 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-2x+y-y=-5$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$x-2x=-5$$

Aggiungi x a -2x.

$$-x=-5$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$x=5$$

Sostituisci 5 a x in 2x+y=5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$2\times 5+y=5$$

Moltiplica 2 per 5.

$$10+y=5$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=5,y=-5$$