Risolvi {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Trova x,.y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la seconda equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-y=-5$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+2y=1$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-2y+1$$

Sostituisci -2y+1 a x nell'altra equazione x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Aggiungi -2y a -y.

$$-3y+1=-5$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3y=-6$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$y=2$$

Sostituisci 2 a y in x=-2y+1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-2\times 2+1$$

Moltiplica -2 per 2.

$$x=-4+1$$

Aggiungi 1 a -4.

$$x=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-3,y=2$$

Procedura usando le matrici

Considera la seconda equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-y=-5$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-3,y=2$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la seconda equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-y=-5$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Sottrai x-y=-5 a x+2y=1 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Aggiungi x a -x. I termini x e -x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$2y+y=1+5$$

Aggiungi 2y a y.

$$3y=1+5$$

Aggiungi 1 a 5.

$$3y=6$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$y=2$$

Sostituisci 2 a y in x-y=-5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-2=-5$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-3,y=2$$