Risolvi {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x-3y=5$$

Aggiungi 3y a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=3y+5$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Sostituisci \frac{3y+5}{2} a x nell'altra equazione 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Moltiplica 3 per \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Aggiungi \frac{9y}{2} a -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Sottrai \frac{15}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{5}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Moltiplica \frac{3}{2} per -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a -\frac{3}{2} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=-1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=1,y=-1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Per rendere 2x e 3x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 3 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Semplifica.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Sottrai 6x-4y=10 a 6x-9y=15 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Aggiungi 6x a -6x. I termini 6x e -6x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-9y+4y=15-10$$

Aggiungi -9y a 4y.

$$-5y=15-10$$

Aggiungi 15 a -10.

$$-5y=5$$

Dividi entrambi i lati per -5.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in 3x-2y=5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Moltiplica -2 per -1.

$$3x+2=5$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=3$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=-1$$