Risolvi {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+y=6$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-y+6$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Sostituisci -\frac{y}{2}+3 a x nell'altra equazione 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Moltiplica 4 per -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Aggiungi -2y a -y.

$$-3y+12=7$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3y=-5$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

Sostituisci \frac{5}{3} a y in x=-\frac{1}{2}y+3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Moltiplica -\frac{1}{2} per \frac{5}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Aggiungi 3 a -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Per rendere 2x e 4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Semplifica.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Sottrai 8x-2y=14 a 8x+4y=24 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Aggiungi 8x a -8x. I termini 8x e -8x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y+2y=24-14$$

Aggiungi 4y a 2y.

$$6y=24-14$$

Aggiungi 24 a -14.

$$6y=10$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Sostituisci \frac{5}{3} a y in 4x-y=7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Aggiungi \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$