Risolvi {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+y=3$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-y+3$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Sostituisci \frac{-y+3}{2} a x nell'altra equazione x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Aggiungi -\frac{y}{2} a -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{3}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=\frac{1}{3}$$

Sostituisci \frac{1}{3} a y in x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Moltiplica -\frac{1}{2} per \frac{1}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a -\frac{1}{6} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{4}{3}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Per rendere 2x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Semplifica.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Sottrai 2x-2y=2 a 2x+y=3 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Aggiungi 2x a -2x. I termini 2x e -2x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$y+2y=3-2$$

Aggiungi y a 2y.

$$3y=3-2$$

Aggiungi 3 a -2.

$$3y=1$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Sostituisci \frac{1}{3} a y in x-y=1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Aggiungi \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{3}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$