Risolvi {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Trova x,.y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+y=3$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-y+3$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Sostituisci \frac{-y+3}{2} a x nell'altra equazione x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Aggiungi -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Moltiplica entrambi i lati per 2.

$$y=7$$

Sostituisci 7 a y in x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Moltiplica -\frac{1}{2} per 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a -\frac{7}{2} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-2,y=7$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-2,y=7$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Sottrai x+y=5 a 2x+y=3 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$2x-x=3-5$$

Aggiungi 2x a -x.

$$x=3-5$$

Aggiungi 3 a -5.

$$x=-2$$

Sostituisci -2 a x in x+y=5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$-2+y=5$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=7$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-2,y=7$$