Risolvi {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+4y=2060$$

Sottrai 4y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-4y+2060$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Sostituisci -2y+1030 a x nell'altra equazione 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Moltiplica 5 per -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Aggiungi -10y a 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Sottrai 5150 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3y=-3510$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$y=1170$$

Sostituisci 1170 a y in x=-2y+1030. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Moltiplica -2 per 1170.

$$x=-2340+1030$$

Aggiungi 1030 a -2340.

$$x=-1310$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1310,y=1170$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-1310,y=1170$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Per rendere 2x e 5x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 5 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Semplifica.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Sottrai 10x+14y=3280 a 10x+20y=10300 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Aggiungi 10x a -10x. I termini 10x e -10x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$20y-14y=10300-3280$$

Aggiungi 20y a -14y.

$$6y=10300-3280$$

Aggiungi 10300 a -3280.

$$6y=7020$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$y=1170$$

Sostituisci 1170 a y in 5x+7y=1640. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Moltiplica 7 per 1170.

$$5x+8190=1640$$

Sottrai 8190 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5x=-6550$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x=-1310$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1310,y=1170$$