Risolvi {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Trova m,.n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per m isolando m sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2m+3n=1$$

Sottrai 3n da entrambi i lati dell'equazione.

$$2m=-3n+1$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Sostituisci \frac{-3n+1}{2} a m nell'altra equazione \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Moltiplica \frac{5}{3} per \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Aggiungi -\frac{5n}{2} a -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Sottrai \frac{5}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{9}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Sostituisci -\frac{1}{27} a n in m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per m.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Moltiplica -\frac{3}{2} per -\frac{1}{27} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a \frac{1}{18} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$m=\frac{5}{9}$$

Il sistema è ora risolto.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice m e n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Per rendere 2m e \frac{5m}{3} uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per \frac{5}{3} e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Semplifica.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Sottrai \frac{10}{3}m-4n=2 a \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Aggiungi \frac{10m}{3} a -\frac{10m}{3}. I termini \frac{10m}{3} e -\frac{10m}{3} si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Aggiungi 5n a 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Aggiungi \frac{5}{3} a -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Sostituisci -\frac{1}{27} a n in \frac{5}{3}m-2n=1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per m.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Moltiplica -2 per -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Sottrai \frac{2}{27} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{5}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$m=\frac{5}{9}$$

Il sistema è ora risolto.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$