Risolvi {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y (soluzione complessa)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2ax+by=14$$

Sottrai by da entrambi i lati dell'equazione.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Dividi entrambi i lati per 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2a} per -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Sostituisci \frac{-by+14}{2a} a x nell'altra equazione -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Moltiplica -2 per \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Aggiungi \frac{by}{a} a 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Aggiungi \frac{14}{a} a entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Dividi entrambi i lati per 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Sostituisci \frac{14-19a}{9a+b} a y in x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Moltiplica -\frac{b}{2a} per \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Aggiungi \frac{7}{a} a -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Per rendere 2ax e -2x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Semplifica.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Sottrai \left(-4a\right)x+18ay=-38a a \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Aggiungi -4ax a 4ax. I termini -4ax e 4ax si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Aggiungi -2by a -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Aggiungi -28 a 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Dividi entrambi i lati per -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Sostituisci -\frac{-14+19a}{b+9a} a y in -2x+9y=-19. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Moltiplica 9 per -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Aggiungi \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} a entrambi i lati dell'equazione.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Trova x,.y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2ax+by=14$$

Sottrai by da entrambi i lati dell'equazione.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Dividi entrambi i lati per 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2a} per -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Sostituisci \frac{-by+14}{2a} a x nell'altra equazione -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Moltiplica -2 per \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Aggiungi \frac{by}{a} a 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Aggiungi \frac{14}{a} a entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Dividi entrambi i lati per 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Sostituisci \frac{14-19a}{9a+b} a y in x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Moltiplica -\frac{b}{2a} per \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Aggiungi \frac{7}{a} a -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Per rendere 2ax e -2x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Semplifica.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Sottrai \left(-4a\right)x+18ay=-38a a \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Aggiungi -4ax a 4ax. I termini -4ax e 4ax si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Aggiungi -2by a -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Aggiungi -28 a 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Dividi entrambi i lati per -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Sostituisci -\frac{-14+19a}{b+9a} a y in -2x+9y=-19. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Moltiplica 9 per -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Aggiungi \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} a entrambi i lati dell'equazione.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$