Risolvi {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x-y=4$$

Aggiungi y a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=y+4$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Sostituisci \frac{y}{2}+2 a x nell'altra equazione 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Moltiplica 4 per \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Aggiungi 2y a 3y.

$$5y+8=3$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$5y=-5$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in x=\frac{1}{2}y+2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Aggiungi 2 a -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Per rendere 2x e 4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Semplifica.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Sottrai 8x+6y=6 a 8x-4y=16 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Aggiungi 8x a -8x. I termini 8x e -8x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-4y-6y=16-6$$

Aggiungi -4y a -6y.

$$-10y=16-6$$

Aggiungi 16 a -6.

$$-10y=10$$

Dividi entrambi i lati per -10.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in 4x+3y=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Moltiplica 3 per -1.

$$4x-3=3$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=6$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$