Risolvi ∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ

$$\int_{ 0 }^{ 2 \pi } \int_{ 0 }^{ 1 } r \sqrt{ 4 { r }^{ 2 } +1 } d r d \theta$$

Calcola

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5,3304135$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

Trova il integrale di \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}\theta =a\theta .

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

Semplifica.

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

Semplifica.

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$