Risolvi ∫ (from -4 to 2) of left(2xright)^2+4x-16 wrt x

$$\int_{ -4 }^{ 2 } { \left(2x \right) }^{ 2 } +4x-16 d x$$

Calcola

$$-24$$

Procedura della soluzione

Espandi \left(2x\right)^{2}.

$$\int _{-4}^{2}2^{2}x^{2}+4x-16\mathrm{d}x$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$\int _{-4}^{2}4x^{2}+4x-16\mathrm{d}x$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int 4x^{2}+4x-16\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int 4x\mathrm{d}x+\int -16\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x+4\int x\mathrm{d}x+\int -16\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica 4 per \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+4\int x\mathrm{d}x+\int -16\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica 4 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+\int -16\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di -16 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}-16x$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{4}{3}\times 2^{3}+2\times 2^{2}-16\times 2-\left(\frac{4}{3}\left(-4\right)^{3}+2\left(-4\right)^{2}-16\left(-4\right)\right)$$

Semplifica.

$$-24$$