Risolvi ∫ (from -1 to 7) of 2x+5-(x^2-2x) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 7 } 2x+5-( { x }^{ 2 } -2x) d x$$

Calcola

$$\frac{64}{3}\approx 21,333333333$$

Procedura della soluzione

Per trovare l'opposto di x^{2}-2x, trova l'opposto di ogni termine.

$$\int _{-1}^{7}2x+5-x^{2}+2x\mathrm{d}x$$

Combina 2x e 2x per ottenere 4x.

$$\int _{-1}^{7}4x+5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int 4x+5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$4\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica 4 per \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+\int 5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di 5 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{2}+5x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica -1 per \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{2}+5x-\frac{x^{3}}{3}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$2\times 7^{2}+5\times 7-\frac{7^{3}}{3}-\left(2\left(-1\right)^{2}+5\left(-1\right)-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Semplifica.

$$\frac{64}{3}$$