Risolvi ∫ (x+2sqrt{x})(x-2sqrt{x}) wrt x

$$\int{ (x+2 \sqrt{ x } )(x-2 \sqrt{ x } ) }d x$$

Calcola

$$\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+С$$

Procedura della soluzione

Considera \left(x+2\sqrt{x}\right)\left(x-2\sqrt{x}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\int x^{2}-\left(2\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Espandi \left(2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int x^{2}-2^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$\int x^{2}-4\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Calcola \sqrt{x} alla potenza di 2 e ottieni x.

$$\int x^{2}-4x\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica -4 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}$$

Se F\left(x\right) è un antiderivata di f\left(x\right), il set di tutte le antiderivatives f\left(x\right) viene specificato da F\left(x\right)+C. Pertanto, aggiungere la costante di integrazione C\in \mathrm{R} al risultato.

$$\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+С$$

Differenzia rispetto a x

$$x\left(x-4\right)$$