Risolvi ∫ left(7-2xright)^3 wrt x

$$\int{ { \left(7-2x \right) }^{ 3 } }d x$$

Calcola

$$-\frac{\left(7-2x\right)^{4}}{8}+С$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} per espandere \left(7-2x\right)^{3}.

$$\int 343-294x+84x^{2}-8x^{3}\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 343\mathrm{d}x+\int -294x\mathrm{d}x+\int 84x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{3}\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int 343\mathrm{d}x-294\int x\mathrm{d}x+84\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di 343 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$343x-294\int x\mathrm{d}x+84\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica -294 per \frac{x^{2}}{2}.

$$343x-147x^{2}+84\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica 84 per \frac{x^{3}}{3}.

$$343x-147x^{2}+28x^{3}-8\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{3}\mathrm{d}x con \frac{x^{4}}{4}. Moltiplica -8 per \frac{x^{4}}{4}.

$$343x-147x^{2}+28x^{3}-2x^{4}$$

Se F\left(x\right) è un antiderivata di f\left(x\right), il set di tutte le antiderivatives f\left(x\right) viene specificato da F\left(x\right)+C. Pertanto, aggiungere la costante di integrazione C\in \mathrm{R} al risultato.

$$343x-147x^{2}+28x^{3}-2x^{4}+С$$

Differenzia rispetto a x

$$\left(7-2x\right)^{3}$$