Risolvi ∫ (from r to sqrt { alpha ^ 2) of - r}r wrt z

$$\int _ { r } ^ { \sqrt { \alpha ^ { 2 } - r } } r d z$$

Calcola

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

$$r\leq \alpha ^{2}$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int r\mathrm{d}z$$

Trova il integrale di r che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}z=az.

$$rz$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$r\left(\alpha ^{2}-r\right)^{\frac{1}{2}}-rr$$

Semplifica.

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

Differenzia rispetto a r

$$\frac{\alpha ^{2}}{\sqrt{\alpha ^{2}-r}}-2r-\frac{3r}{2\sqrt{\alpha ^{2}-r}}$$