Risolvi ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Calcola

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Procedura della soluzione

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare \sqrt{x}+1 per \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Calcola \sqrt{x} alla potenza di 2 e ottieni x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Riscrivi \sqrt{x} come x^{\frac{1}{2}}. Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x con \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Semplifica.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Semplifica.

$$\frac{271}{6}$$