Risolvi ∫ (from 2 to 3) of (x^2-2x)^2 wrt x

$$\int _ { 2 } ^ { 3 } ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } d x$$

Calcola

$$\frac{38}{15}\approx 2,533333333$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$\int _{2}^{3}\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$\int _{2}^{3}x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 2 e 1 per ottenere 3.

$$\int _{2}^{3}x^{4}-4x^{3}+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int x^{4}-4x^{3}+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -4x^{3}\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-4\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{4}\mathrm{d}x con \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-4\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{3}\mathrm{d}x con \frac{x^{4}}{4}. Moltiplica -4 per \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+4\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica 4 per \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}$$

Semplifica.

$$\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}+\frac{x^{5}}{5}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{4}{3}\times 3^{3}-3^{4}+\frac{3^{5}}{5}-\left(\frac{4}{3}\times 2^{3}-2^{4}+\frac{2^{5}}{5}\right)$$

Semplifica.

$$\frac{38}{15}$$