Risolvi ∫ (from 1 to 5) of (-x^2+6x-5) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( - x ^ { 2 } + 6 x - 5 ) d x$$

Calcola

$$\frac{32}{3}\approx 10,666666667$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int -x^{2}+6x-5\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica -1 per \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica 6 per \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+\int -5\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di -5 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}-5x$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$-\frac{5^{3}}{3}+3\times 5^{2}-5\times 5-\left(-\frac{1^{3}}{3}+3\times 1^{2}-5\right)$$

Semplifica.

$$\frac{32}{3}$$