Risolvi ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Calcola

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Riscrivi \frac{1}{\sqrt{x}} come x^{-\frac{1}{2}}. Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x con \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Semplifica e converti da potenza a radicale.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica -1 per \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Semplifica.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$