Risolvi ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Calcola

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Calcola \sqrt{x} alla potenza di 2 e ottieni x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Per trovare l'opposto di 16-8\sqrt{x}+x, trova l'opposto di ogni termine.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Sottrai 16 da 6 per ottenere -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di -10 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Riscrivi \sqrt{x} come x^{\frac{1}{2}}. Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x con \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Semplifica. Moltiplica 8 per \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica -1 per \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Semplifica.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Semplifica.

$$-\frac{16}{3}$$