Risolvi ∫ (from 0 to 3) of (t^2+3t-6)dt

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } ( t ^ { 2 } + 3 t - 6 ) d t$$

Calcola

$$\frac{9}{2}=4,5$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int t^{2}+3t-6\mathrm{d}t$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 3t\mathrm{d}t+\int -6\mathrm{d}t$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+3\int t\mathrm{d}t+\int -6\mathrm{d}t$$

Poiché \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int t^{2}\mathrm{d}t con \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}+3\int t\mathrm{d}t+\int -6\mathrm{d}t$$

Poiché \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int t\mathrm{d}t con \frac{t^{2}}{2}. Moltiplica 3 per \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}+\frac{3t^{2}}{2}+\int -6\mathrm{d}t$$

Trova il integrale di -6 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{3}}{3}+\frac{3t^{2}}{2}-6t$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{3^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 3^{2}-6\times 3-\left(\frac{0^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 0^{2}-6\times 0\right)$$

Semplifica.

$$\frac{9}{2}$$