Risolvi ∫ (from 0 to 2) of (x^3+3x-1) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 3 x - 1 ) d x$$

Calcola

$$8$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int x^{3}+3x-1\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{3}\mathrm{d}x con \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica 3 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{3x^{2}}{2}+\int -1\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di -1 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{3x^{2}}{2}-x$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{2^{4}}{4}+\frac{3}{2}\times 2^{2}-2-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{3}{2}\times 0^{2}-0\right)$$

Semplifica.

$$8$$