Risolvi ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Calcola

$$1$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Trova il integrale di 1 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Poiché \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int v^{3}\mathrm{d}v con \frac{v^{4}}{4}. Moltiplica -8 per \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Poiché \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int v^{7}\mathrm{d}v con \frac{v^{8}}{8}. Moltiplica 16 per \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Semplifica.

$$1$$