Risolvi ∫ (from 0 to 1) of 1/3-1/3y^3 wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } y ^ { 3 } d y$$

Calcola

$$\frac{1}{4}=0,25$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int \frac{1-y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y+\int -\frac{y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y-\frac{\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Trova il integrale di \frac{1}{3} che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}y=ay.

$$\frac{y-\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Poiché \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int y^{3}\mathrm{d}y con \frac{y^{4}}{4}. Moltiplica -\frac{1}{3} per \frac{y^{4}}{4}.

$$\frac{y}{3}-\frac{y^{4}}{12}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{1}{3}\times 1-\frac{1^{4}}{12}-\left(\frac{1}{3}\times 0-\frac{0^{4}}{12}\right)$$

Semplifica.

$$\frac{1}{4}$$