Risolvi ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2ds

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } d s$$

Calcola

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}s$$

Trova il integrale di \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}s=as.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}s$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Differenzia rispetto a θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$