Risolvi ∫ (from 0 to sqrt { 2) of / 2 } (1/2x^2-x^4) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) d x$$

Calcola

$$\frac{\sqrt{2}}{60}\approx 0,023570226$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int \frac{x^{2}}{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int \frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x+\int -x^{4}\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica \frac{1}{2} per \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{6}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{4}\mathrm{d}x con \frac{x^{5}}{5}. Moltiplica -1 per \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{5}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{1}{6}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{3}-\frac{1}{5}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{5}-\left(\frac{0^{3}}{6}-\frac{0^{5}}{5}\right)$$

Semplifica.

$$\frac{\sqrt{2}}{60}$$